20 حركة تتغلب على 43 كوينتيليون حالة في مكعب روبيك

على الرغم من وجود 43,252,003,274,489,856,000 حالة ممكنة، يمكن حل كل مكعب روبيك قياسي في 20 حركة أو أقل — وهو أمر يبدو كأنه لا بد أن يكون سهلًا، لكنه يعني في الواقع شيئًا أضيق بكثير: أن حلًا قصيرًا يوجد دائمًا، لا أن الإنسان يستطيع رؤيته.

هذه الحقيقة الصغيرة هي الباب السرّي تحت صندوق الألعاب. تلتقط المكعب وأنت تظنّه مجرد إزعاج صغير ملوّن. ثم تنفتح الرياضيات من تحته.

أولًا، توقّف عن النظر إلى الملصقات

لفهم سبب بلوغ أرقام المكعب هذا الحد من الجنون، من المفيد أن تحمل الصورة الذهنية الصحيحة. فالمكعب ليس في الحقيقة ستة أوجه ملوّنة عليها ملصقات. بل هو مجموعة من القطع المتحرّكة المحكومة داخل آلية.

الأجزاء الخفية في المكعب

الزوايا

ثلاثة ألوان·تتحرّك وتلتف

يمكن لقطع الزوايا أن تنتقل إلى مواضع مختلفة، كما يمكنها أن تدور، ما يضيف طبقة أخرى من التعقيد تتجاوز مجرد إعادة الترتيب.

الحواف

لونان·تتحرّك وتنقلب

تتحرّك قطع الحواف أيضًا من موضع إلى آخر، لكنها بدلًا من الالتفاف مثل الزوايا، يمكنها أن تنقلب، ما يخلق نوعًا مختلفًا من الحالات القانونية أو غير القانونية.

المراكز

ثابتة·تحدّد الأوجه

أما قطع المركز فلا تتنقّل. فهي التي تثبّت هوية كل وجه، ولهذا تكون الآلية أهم من الملصقات التي تراها.

ولهذا أيضًا ليست كل أنماط الملصقات التي يمكن تخيّلها قانونية. فلا يمكنك أن تبدّل زوجًا واحدًا من قطع الحواف وتترك كل شيء آخر كما هو. ولا يمكنك أن تلفّ زاوية واحدة وحدها. فالآلية الخفية لا تسمح إلا ببعض تراكيب الحركات، ولذلك فإن العدد الحقيقي للمكعب هو عدد الأوضاع القانونية، لا كل نمط يمكن أن ترسمه على الورق.

يكبر الرقم كثيرًا قبل أن يصبح غريبًا

ما إن تفكّر في الأمر بوصفه قطعًا، حتى يبدأ العد في التضخّم سريعًا. يمكن ترتيب قطع الزوايا بطرائق كثيرة، ويمكن لكل زاوية أن تلتف. كما يمكن ترتيب قطع الحواف أيضًا بطرائق كثيرة، ويمكن لكل حافة أن تنقلب.

ثم تتدخّل الآلية كأنها صاحب متجر صارم. يجب أن يكون مجموع التفافات الزوايا متوازنًا. ويجب أن يكون مجموع انقلابات الحواف متوازنًا. كما يجب أن تتوافق عمليات تبديل القطع إجمالًا مع تسلسل قانوني من اللفات.

لذلك يمتلك المكعب عددًا هائلًا من الأوضاع، لكنه ليس عددًا بلا أي قيود. إنه يعيش داخل ساحة مسوّرة، لا تحت سماء مفتوحة.

43,252,003,274,489,856,000.

وهنا يأتي الجزء الذي يقلب حدسك

هذا الرقم هو عدد حالات البداية القانونية. وليس عدد الحركات التي قد تحتاج إليها. فهاتان فكرتان مختلفتان، وتتبدّد المفارقة كلها ما إن تفصل بينهما.

تخيّل مدينة فيها مليارات العناوين. إن كثرة العناوين وحدها لا تخبرك بأطول أقصر طريق بين نقطتين. قد يحتوي مكان ما على عدد هائل من المواقع، ومع ذلك يملك شبكة طرق مدهشة في إحكامها.

20 حركة

في مكعب 3×3×3 القياسي، لا توجد أي بعثرة قانونية تبعد أكثر من 20 حركة عن الحل إذا استُخدم حل أمثل.

هذا هو حال المكعب. والتحديث الخفي هنا هو الآتي: «كم عدد الأوضاع الممكنة؟» و«ما أبعد مسافة يمكن أن تفصل أي وضع عن الحالة المحلولة؟» ليسا السؤال نفسه. فقد يكون فضاء الحالات هائلًا جدًا، ومع ذلك يظل الحد الأقصى للمسافة صغيرًا.

في مكعب 3×3×3 القياسي، يبلغ هذا الحد الأقصى 20 حركة. ويسمّي علماء الرياضيات وباحثو الحوسبة هذا العدد «رقم الإله»، أي أقل عدد من الحركات قد يحتاج إليه محلّل كامل الإحاطة في أسوأ الحالات.

بعد سنوات من العمل، أعلن توماس روكيكي، وهربرت كوتشيِمبا، ومورلي ديفيدسون، وجون ديثريدج في عام 2010 أنهم أثبتوا أن كل بعثرة قانونية يمكن حلّها في 20 حركة أو أقل. وبعبارة مباشرة، لم يختبروا مكعبك على طاولة المطبخ. بل قسّموا المشكلة العملاقة إلى فئات كثيرة من الأوضاع، واستخدموا قدرة حسابية هائلة لتغطيتها كلها.

لماذا تُعَدّ مقولة الـ20 حركة موثوقة

التفصيل	ما الذي يعنيه	لماذا يهم
برهان 2010	أعلن الباحثون أن كل بعثرة قانونية يمكن حلّها في 20 حركة أو أقل	القول هنا نتيجة رياضية، وليس شائعة من شائعات محترفي حل المكعب بسرعة
فريق معروف بالاسم	توماس روكيكي، هربرت كوتشيِمبا، مورلي ديفيدسون، وجون ديثريدج	النتيجة مرتبطة بباحثين معروفين ومنشورة في أعمال علمية
35 سنة-وحدة معالجة مركزية	تطلّب الحساب جهدًا بحثيًا هائلًا	يُظهر هذا مدى صعوبة إثبات الحد، حتى لو كان الحد نفسه صغيرًا

والآن إلى القيد الصريح. فإثبات وجود حل من 20 حركة لا يعني أنك تستطيع أن ترى هذه الحركات العشرين، أو تتذكّرها، أو تنفّذها بإتقان وأنت تحدّق في مكعب مبعثر بين يديك.

إذا كان يبعد 20 حركة فقط، فلماذا لا يزال يتغلّب على الناس؟

لأن البشر لا يختبرون المكعب بوصفه خريطة لكل الحالات الممكنة. نحن نختبره لفةً بعد لفة، بحدس سيّئ وذاكرة محدودة.

جرّب اختبارًا سريعًا لنفسك. تخيّل أنك تحاول حل مكعب مبعثر بأن تختار في كل مرة ما يبدو لك أفضل حركة تالية، من دون أي منهج. تصلح وجهًا، وتفسد آخر، وتطارد زوجًا من الألوان، ثم تفقده، وبعد بضع دقائق تجد نفسك في الغالب تعيد ترتيب الحيرة نفسها.

والآن تخيّل أنك تستخدم طريقة قابلة للتكرار. قد لا تكون الأقصر، لكنها تحل المكعب طبقة فوق طبقة أو قطعةً بعد قطعة. فجأة، لم تعد تخمّن طريقك داخل كون من الأوضاع. بل صرت تتبع مسارًا يمكن للإنسان أن يحتفظ به في ذهنه فعلًا.

كيف يبدو المكعب من دون طريقة ومعها

قبل

تقوم بحركات تبدو معقولة على المستوى المحلي، فتصلح جزءًا وتفسد آخر، وتنجرف داخل البعثرة من دون خطة ثابتة.

بعد

تحوّل الطريقة القابلة للتكرار المشكلة إلى تسلسل يستطيع الإنسان تتبّعه، حتى لو لم يكن أقصر طريق ممكن.

هذه هي الفجوة البشرية. فقد يكون المكعب، بالمعنى الرياضي، على بُعد 20 حركة كحد أقصى من الحل، لكن العثور على أحد هذه المسارات الأقصر من الصفر هو مشكلة بحث تتجاوز كثيرًا ما يستطيع معظم الناس فعله من دون عون.

ولهذا قد يحتاج المبتدئ إلى أكثر من 100 حركة، ويشعر مع ذلك بالفخر، وعن حق. فهو يحل مشكلة تخطيط، لا يفشل في اختبار مسافة.

اللعبة العادية والعالم الصغير الخفي

ما إن ترى هذا الفرق، حتى يصبح المكعب أروع. فروعته لا تكمن في أنه يمتد بعيدًا بلا نهاية عن الحالة المحلولة. بل في أن جسمًا يملك هذا التنوع الفلكي مطويّ داخل فضاء حركات صغير على نحو يثير الدهشة.

وهذا هو الجواب المُرضي عن المفارقة الذي يمكنك أن تحمله معك إلى مائدة العشاء: نحو 43 كوينتيليون وضع قانوني، لكن لا يوجد أي وضع منها يبعد أكثر من 20 حركة عن العودة إلى الحالة المحلولة إذا عرفت المسار المثالي. ليست الصعوبة في أن المكعب يعيش في برية لا نهائية. الصعوبة في أن البشر سيئون جدًا في رؤية الاختصار.

إن ما يجعل مكعب روبيك مدهشًا ليس أنه بعيد على نحو مستحيل عن الحل؛ بل أن هذا القدر الكبير من الفوضى الظاهرة يندرج داخل صندوق رياضي محدود بإحكام شديد.