عالما رياضيات يكتبان برهانًا لمسألة عمرها 100 عام - وربما يكونان قد غيّرا علم الهندسة
يقول اثنان من علماء الرياضيات الآن أنهما أحرزا تقدماً في حل مشكلة رياضية قديمة جداً لم تُحل. تتضمن المشكلة مجالاً فرعياً يسمى نظرية القياس الهندسي، حيث يتم تعميم مجموعات من الأشياء بطريقة متقدمة باستخدام خصائص مثل القطر والمساحة. وفقًا لبحث الثنائي الأخير (الذي لم تتم مراجعته بعد)، اتضح أن فحص الأشياء من خلال عدسة الهندسة يمكن أن يكشف عن صفات أخرى مثيرة للاهتمام قد تشترك فيها الأجسام، وهو ما له قيمة عالية في مجال الرياضيات متعدد التخصصات الذي يزداد تداخله بين التخصصات الفرعية.
مجموعة كاكيّا:
في مسألة خاصة في الهندسة تسمى "مجموعة كاكيّا"، يتساءل علماء الرياضيات عن مدى صغر المساحة التي يمكن أن يدور فيها خط بالكامل، أو إبرة بالكامل، خلال 360 درجة. قد تتخيل شيئًا مثل إبرة دوّارة في لعبة لوحية أو عصا دوارة، لذا يجب أن تكون الإبرة الدوارة على شكل دائرة فقط. لكن الحقيقة أكثر تعقيدًا بكثير، لأنه يمكن إعادة استخدام المساحة بشكل أساسي بواسطة إبر مختلفة، ولا يلزم أن يكون لمواضع الإبر نفس نقطة المنتصف. وإذا قمت بتحريكها بطرق ذكية، يمكنك القيام بعمل أفضل بكثير.
قراءة مقترحة
وهذا يخلق أشكالًا مثل الدالية، وهي شكل مثلث تقريبًا قد يذكرك بلعبة الرسم القديمة التي تستخدمها في رسم أشكال على الورق بتدويرها (تدعى Spirograph). يمكن أن يكون للدالية مساحة أصغر بكثير من الدائرة التي تحيط بنفس الإبرة التي تدور مثل العصا. يحاول علماء الرياضيات الذين يدرسون هذه المسألة بشكل أساسي إيجاد أصغر دالية ممكنة - أيًّا كان شكلها في النهاية - عبر مجموعة متنوعة من المساحات.
ما يبدو بديهيًا وما تقوله المسألة
إذا دار خط كامل دورة تامة، فلا بد أن يشغل منطقة دائرية واضحة وكبيرة نسبيًا.
يمكن إعادة استخدام المساحة بذكاء، وتغيير مواضع الإبرة أثناء الدوران، ما يسمح بأشكال أصغر بكثير من الدائرة المتوقعة.
مجموعة كاكيّا - التي سُميت نسبة إلى مكتشفها سويتشي كاكيّا - تعقدت على يد عالم رياضيات لاحق يُدعى أبرام سامويلوفيتش بيسكوفيتش. قدم بيسكوفيتش فكرة أن مجموعة كاكيّا المنقولة إلى عدد مختلف من الأبعاد يمكن أن يكون لها مساحة قياسها صفر.
وهذا تعريف محدد يتضمن إحاطة عنصر معين بنقاط يمكن تقريبها من بعضها البعض أكثر فأكثر حتى تتلاشى تقريبًا، مع معنى بديهي هو عدم وجود مساحة على الإطلاق. لا يمكن لعلماء الرياضيات تدوين المعنى البديهي وإثباته دون أن يكون له أساس في الرياضيات. ونتيجة لذلك، فإن هذه المسألة - ومسائل أخرى مثلها، وكلها كانت محيرة لأولئك المنغمسين بالفعل في مفاهيم مماثلة - قد أسهمت في النهاية في إنشاء مجال نظرية القياس الهندسية. إذا كنت قد رأيت من قبل رسمًا توضيحيًا لزجاجة كلاين (وهو تصوير أيقوني لسطح ثنائي الأبعاد غير قابل للتوجيه يُمثَّل في نسخة ثلاثية الأبعاد يمكن لعقولنا البشرية تحليلها)، فهذا مثال واحد من أمثلة التمرين الفكري لنظرية القياس الهندسي.
محطات أساسية في تطور الفكرة
بداية مسألة كاكيّا
ظهرت المسألة مع سويتشي كاكيّا بوصفها سؤالًا عن أصغر مساحة تسمح بدوران إبرة كاملة.
توسيعها إلى أبعاد أخرى
طرح بيسكوفيتش فكرة أن نسخًا من مجموعة كاكيّا في أبعاد مختلفة قد تمتلك مساحة قياسها صفر.
نشوء نظرية القياس الهندسي
أدت هذه الأسئلة الصعبة إلى ترسيخ مجال نظرية القياس الهندسي بوصفه إطارًا للتعامل مع مفاهيم المساحة والبعد بدقة.
توفي كاكيّا في عام 1947 وتوفي بيسيكوفيتش في عام 1970، لذا فحتى أحدث الصيغ الممكنة لهذه الأسئلة كانت مفتوحة وغير مثبتة منذ 55 عامًا على الأقل. لكنها في الحقيقة تعود إلى 100 عام مضت، عندما كان كلا الرجلين في بداياتهما الرياضية... إذا جاز التعبير. ومنذ ذلك الحين، صدم علماء الرياضيات رؤوسهم بأنواع مختلفة من مجموعات الكاكيّا في أنواع مختلفة من الفضاءات وبصفات مختلفة. ففي نهاية المطاف، لا يوجد حد لعدد الأبعاد التي يمكن أن يكون لشيء ما.
إعادة صياغة المسألة:
وكما هو الحال غالبًا في الاكتشافات الحديثة، كان السر بالنسبة لعالمي الرياضيات هذين - هونغ وانغ من جامعة نيويورك (NYU) وجوشوا زال من جامعة كولومبيا البريطانية (UBC) - في إعادة صياغة المشكلة الشائكة باستخدام التفكير الجانبي. وفي حين أن هذا الحل يعتمد على التطورات الأخيرة في هذا المجال، إلا أنه يجمع بين العديد من الأفكار الجديدة مع إتقان تقني ملحوظ. على سبيل المثال، تمكن المؤلفان من إيجاد بيان حول التقاطعات الأنبوبية أكثر عمومية من تخمين كاكيّا، وأسهل في الوقت نفسه من حيث المعالجة باستخدام نهج قوي يُعرف باسم الاستقراء على المقاييس.
الاستقراء على المقياس:
من خلال إجراء بدائل وتوضيحات أساسية على المشكلة الأصلية، فتح وانغ وزال الباب أمام نوع من البراهين يسمى الاستقراء على المقياس.
كيف يعمل الاستقراء على المقياس هنا
تبسيط صياغة السؤال
يُعاد التعبير عن المسألة الأصلية بحيث تصبح العلاقات الرياضية الأساسية أوضح وأسهل للتتبع.
استبدال الخطوط بأنابيب
بدلاً من التعامل مع إبر أو خطوط مثالية فقط، ينظر البرهان إلى أنابيب تحيط بها، ما يمنح بنية قابلة للقياس والمقارنة.
تغيير المقياس
يتم تكبير هذه الأنابيب أو تصغيرها لاختبار كيف تتغير خصائصها عبر مستويات مختلفة من الحجم.
استخراج خصائص الإبر
من سلوك الأنابيب عبر المقاييس المختلفة، يستنتج الباحثان خصائص مرتبطة بالإبر أو الخطوط التي تحيط بها تلك الأنابيب.
يتضمن البرهان الكلاسيكي بالاستقراء إظهار علاقة بين قيمة 1 وقيمة 2 على سبيل المثال، فإذا كان بإمكانك تحويل هذه القيم الملموسة إلى تعميم باستخدام ترميز رياضي بدلاً من ذلك، مثل n و(n + 1)، يمكنك تبسيط وحل المسألة الرياضية بحيث ينطبق الحل على جميع القيم الممكنة لـ n، وليس فقط 1 و2.
الاستقراء على المقياس مشابه، لكنه يتضمن التلاعب بمقياس شيء ما. في برهانهما، يأخذ وانغ وزال في الاعتبار الأنابيب بدلاً من الخطوط البسيطة أو أشكال الإبر. نعلم جميعًا ما هو الأنبوب، لكن رياضيًا، هو مجموعة من النقاط على مسافة وموضع محددين من خط أو منحنى أو شكل محدد - مثل المفتاح أو الدائرة أو العقدة. وهذا يعني أن لها بُعدًا ثلاثيًّا معينًا في حد ذاته عند تطبيقها على شكل ثنائي الأبعاد، وهذا ما يحول القطعة المستقيمة إلى قشة. يمكن بعد ذلك ضبط حجم تلك الأنابيب من أجل إظهار خصائص حول الإبر التي تحيط بها.
رأي الخبراء:
حلل تيرينس تاو، أحد البارعين في الرياضيات ذات الصلة، والحائز على ميدالية فيلدز (وهي ميدالية تمنَح لعلماء الرياضيات الذين تقل أعمارهم عن 40 عامًا لتعويضهم عن غياب جائزة نوبل لهم)، حلل هذا البرهان المكون من 125 صفحة في منشور مفصل على مدونته، حيث وصف العمل أيضًا بأنه "تقدم مذهل". غالباً ما تظهر مثل هذه البراهين المعقدة على مدى عقود من الزمن حيث يقوم الناس بتكرار أجزاء صغيرة من نفس المشكلة - وهي عملية جزء منها عبارة عن عملية إزميل وجزء آخر لفك رموز حرف بحرف. في تحليله، يشير تاو بالفعل إلى العديد من الأماكن التي يمكن فيها تكرار العمل مرة أخرى، بعد أن أصبح هذا الجزء في مكانه الصحيح.
125 صفحة
هذا هو حجم البرهان الذي حلله تيرينس تاو، ما يعكس مدى تعقيد التقدم المعلن في مسألة كاكيّا.