ما هو أصغر حجم يمكن أن تدور فيه إبرة لتشير إلى الاتجاه المعاكس؟

في الرياضيات الحديثة، تُعتبر فرضية كاكييا من المسائل التي أربكت العلماء. تُطرح ببساطة: ما أصغر مساحة تسمح بتدوير إبرة لتشير إلى كل الاتجاهات؟ منذ عام 1917 حين طرحها الياباني سويشي كاكييا، جذبت الباحثين بسبب بساطتها الظاهرة وتأثيرها العميق في الهندسة والتحليل، خاصة عند انتقالها من المستوى ثنائي الأبعاد إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد.

في عشرينيات القرن الماضي، أظهر الروسي أبرام بيسكوفيتش إمكانية تدوير الإبرة في مساحة شبه معدومة داخل المستوى ثنائي الأبعاد، وهو ما شكّل مفاجأة رياضية. لكن توسيع الفكرة إلى ثلاثة أبعاد بقي لغزًا طويلًا. فرضية كاكييا تنص على أن أي مجموعة تحتوي على قطعة خطية في كل اتجاه يجب أن يكون لها بُعد هاوسدورف كامل، أي لا يوجد طريق لإخفاء حركة تغطي كل الاتجاهات في حيّز ضيق.

في أوائل 2025، قدّمت الباحثة هونغ وانغ وزميلها جوشوا زال برهانًا رياضيًا جديدًا يؤكد صحة فرضية كاكييا في ثلاثة أبعاد. عملهما بعنوان "تقديرات الحجم لاتحادات المجموعات المحدبة" أثبت أن تدوير إبرة لتغطية كل الاتجاهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد يتطلب حجمًا كاملًا ولا يتم في حيّز جزئي. النتيجة تعزز المبادئ النظرية ولها استخدامات مباشرة في الفيزياء والروبوتات وعلوم الحاسوب.

استخدم الفريق أدوات متقدمة في الهندسة والتحليل التوافقي، أبرزها هندسة الوقوع لتحديد تقاطع الاتجاهات، وتقنيات تقسيم كثيرات الحدود لتجزئة الفضاء، إلى جانب تطوير تقديرات حجم دقيقة تتعلق باتحادات الأنابيب، وتحليل فورييه لفهم سلوك الإشارات والدوال.

يُظهر عمل وانغ أن أي نظام ثلاثي الأبعاد يحتاج إلى حجم كافٍ يسمح بحركة تغطي كل الاتجاهات، وهو أمر حاسم في هندسة الأذرع الآلية والهوائيات وأنظمة التوجيه. وبفضل الإنجاز، برزت وانغ كاسم صاعد في المجتمع الرياضي العالمي، وتُعد الآن من المرشحات البارزات لنيل ميدالية فيلدز، أعلى جائزة رياضية. فرضية كاكييا، التي بدأت كسؤال هندسي عن إبرة، كشفت في النهاية عن بنيات عميقة تحكم الفضاء والحركة داخله.